数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula

0. 前言

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抓虫：(初二人均列文虎克)

1. 在 2.3 篇章中最后一句应为 “到第 $m$ 次就有 $n-m+1$ 种选择，根据乘法原理，就有了$上述$公式。”

1. 思考

我们学习过一元二次方程的求根公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，思考是否存在一元三次方程的求根公式，便展开讨论。

**补充: ** ${\omega }^2+\omega +1=0$ 且 ${\omega }^3=1$，将 $\omega$ 称为 $1$ 的三次单位根。

2. 证明 卡尔丹公式证明

设一元三次方程 $a{y}^3+b{y}^2+cy+d=0(1)$

令 $y=x-\frac{b}{3a}$，代入得：$x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{a{b}^3-9bc+27a^{2}d}{27a^3}=0(2)$

令 $p=\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{a{b}^3-9bc+27a^{2}d}{27a^3}$，则 $x^3-px+q=0(3)$

令 $x=u+v$，代入至 (3) 式得：$u^3+v^3+(3uv-p)(u+v)+q=0(4)$

令 $3uv-p=0$ 即 $uv=\frac{p}{3}$，代入 (4) 式得：$u^3+v^3=-q(5)$

$\therefore u^3\times v^3=\frac{p^3}{27}(6)$
$$联立(5)和(6)式得:\{\begin{array}{c}{u}^3+v^3=-q\\ u^3\times v^3=-\frac{q^3}{27}\end{array}即\{\begin{array}{c}{u}^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\end{array}$$
$$\begin{gathered} \therefore u=\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot \omega \\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot {\omega }^2\end{array}v=\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot \omega \\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot {\omega }^2\end{array} \\ \because uv=\frac{p}{3} \\ \therefore x=\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot \omega +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot {\omega }^2\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot {\omega }^2+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\cdot \omega \end{array} \end{gathered}$$

Q.E.D

3. 总结

对于一元三次方程有三个解。思考：一元二次方程有自己的判别式，判别式的目的在于让我们判断解的数量以及是否存在，那么在一元三次方程中是否也有判别式呢？其实是有的：$\Delta =\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}$。

条件	根的情况
$\Delta >0$	方程有一个实根和一对共轭虚根 （即 $a+bi$ 和 $a-bi$，$i=\sqrt{-1}$）
$\Delta =0$ 且 $pq\ne 0$	方程有一个两重实根（两个相等的实根）和一个单重实根
$\Delta <0$	方程有三个互异实根
$p=q=0$（特殊）	方程有一个三重实根（三个相等的实根）

4. 补充说明

同学们马上要迎来人生中的第一次大考——小中考，在这里祝大家小中考全部拿下，考的全会，蒙的全对。在初二最后的几天时光里，为自己拼博一把，不负自己的努力！

在网页中附赠了另一种解法并且附赠了额外内容。另一个做法源自双十图书馆一本书里，名字是《数 $\pm$ 学=(女 $\times$ 孩)${}^5$ 伽瓦罗定理》，编号：O1 / J169，有兴趣的同学可以去看看。